蓝桥杯历届试题 买不到的数目

问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁:把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候,他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的,比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下,在这种包装情况下,最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时,求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数,表示最大不能买到的糖数

样例输入1
4 7
样例输出1
17
样例输入2
3 5
样例输出2
7
这道题实际上有两种解法:
第一种不需要数学功底,即使用二重循环背包法:
第二种可以推的结果就是a*b-a-b
推导如下:

证明:

1 首先证明,关于x,y的不定方程:  x*a+y*b=a*b-a-b    无非负整数解

反设这个方程有解,变形一下,x*a+(y+1)*b=a*b-a  ,则推出a|(y+1)*b (|是整除符号),

那么由于(a,b)=1  ,推出, a|y+1 ,由于y+1!=0, 这样y+1>=a

带回原方程,x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a,   和原方程矛盾。

2  其次证明 如果n>ab-a-b  , 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。

只需证明:

取l>=1   证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。

先考虑如下一个方程,x*a+y*b=l  (l,不是1),有裴蜀定理,这个方程一定有无穷多组整数解,取出一组解,不妨设  x0*a-y0*b=l      x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1

由于所有解里面y的取值是mod a 同余的,一定可以取到0~a-1这个范围里面)

取出来了这个x0,y0以后,带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ,

则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a  , a,b的系数都是非负的了,所以解找到了。

综合1,2两部 ,ab-a-b 不可以被表示,大于ab-a-b的整数通通可以被表示

证毕

代码:

#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{

        int a,b;

    cin>>a>>b;

    cout<<a*b-a-b<<endl;

}

发表评论