小明开了一家糖果店。他别出心裁:把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候,他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的,比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下,在这种包装情况下,最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时,求最大不能组合出的数字。
两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
一个正整数,表示最大不能买到的糖数
证明:
1 首先证明,关于x,y的不定方程: x*a+y*b=a*b-a-b 无非负整数解
反设这个方程有解,变形一下,x*a+(y+1)*b=a*b-a ,则推出a|(y+1)*b (|是整除符号),
那么由于(a,b)=1 ,推出, a|y+1 ,由于y+1!=0, 这样y+1>=a
带回原方程,x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a, 和原方程矛盾。
2 其次证明 如果n>ab-a-b , 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。
只需证明:
取l>=1 证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。
先考虑如下一个方程,x*a+y*b=l (l,不是1),有裴蜀定理,这个方程一定有无穷多组整数解,取出一组解,不妨设 x0*a-y0*b=l x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1
由于所有解里面y的取值是mod a 同余的,一定可以取到0~a-1这个范围里面)
取出来了这个x0,y0以后,带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ,
则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a , a,b的系数都是非负的了,所以解找到了。
综合1,2两部 ,ab-a-b 不可以被表示,大于ab-a-b的整数通通可以被表示
证毕
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<a*b-a-b<<endl;
}